【数学メモ】原点と直線との距離

はじぱた6章を読んでいて改めて気が付いた事実について備忘しておきます。

直線の方程式 $ax + by = c$ から「原点と直線との最短距離」を一瞬で計算することができます

解説

左辺を

${ \begin{equation} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = c \end{equation} }$

と変形する。

この時、 $(a, b)$ が、直線の法線ベクトルになる。法線ベクトルを単位ベクトルとするために、両辺を

${\sqrt{a^2 + b^2}}$

で割る。すると与式は、

${\frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}}$

となる。この式の左辺は、

1. ${(x, y)}$ (=原点から直線まで伸びる位置ベクトル)と

2. ${ \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} (a , b) }$ (=直線の単位法線ベクトル)

の内積になっているが、これは

「(x,y)ベクトルを法線ベクトル上に射影したときの長さ」、つまり原点から直線までの垂線距離になる....と解釈できる!!

これ、高校で教わったっけかな....?笑

上記の「原点から直線までの最短距離」の求め方は、2次元で試しましたが、3次元で平面の方程式にしても同じ解釈ができる。